Distribuciones y densidades de probabilidad

Que el estudiante entienda que una distribución describe cómo se reparten los valores posibles de una variable aleatoria y que, en variables continuas, la densidad no es una probabilidad puntual sino una forma de representar dónde se concentra la probabilidad.

¿Qué cambia si modelás el tiempo entre llegadas con una exponencial, la cantidad de llegadas por hora con una Poisson o la demanda diaria con una distribución aproximadamente normal?

Una distribución es un modelo de comportamiento posible de los datos. Algunas sirven para conteos discretos y otras para tiempos o magnitudes continuas. Cambiar la distribución o sus parámetros cambia la forma del fenómeno que estás describiendo.

Cuando una variable aleatoria puede tomar distintos valores, una distribución de probabilidad indica cómo se reparte la probabilidad entre esos valores. No dice qué va a pasar en una observación particular, sino qué resultados son más o menos plausibles a largo plazo.

En gestión de operaciones esto aparece todo el tiempo: cantidad de clientes que llegan, tiempo entre llegadas, tiempo de atención, demanda de una semana o cantidad de defectos.

Por eso, elegir una distribución es proponer un modelo para la incertidumbre. No es la realidad misma, pero sí una forma útil de describirla y analizarla.

Una variable es discreta cuando toma valores separados, como 0, 1, 2 o 3 llegadas por hora. En ese caso tiene sentido hablar de una probabilidad puntual, por ejemplo:

P(X = k)

Una variable es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, como 3.2 minutos, 3.21 o 3.213. En ese caso no se trabaja con probabilidades puntuales, sino con una densidad, que suele escribirse como:

f(x)

La idea importante es esta: en una variable continua, la probabilidad de un único punto es 0. Lo que importa es la probabilidad de un rango.

En una distribución continua, la curva amarilla no muestra “la probabilidad exacta” de cada valor. Muestra la forma de la distribución. La probabilidad de que la variable caiga entre dos valores a y b se interpreta como el área bajo la curva entre esos puntos:

P(a ≤ X ≤ b)

No hace falta entrar en integrales para captar la intuición. Al ver la zona resaltada, lo importante es entender que más área implica más probabilidad.

En cambio, en una distribución discreta como Poisson, la lectura es distinta: cada barra representa directamente la probabilidad de un valor entero posible.

Los parámetros de una distribución controlan su comportamiento. En una normal, la media mueve el centro y el desvío cambia la dispersión. En una uniforme, el mínimo y el máximo fijan un intervalo donde todos los valores tienen la misma densidad. En una triangular, la moda concentra más peso en una zona intermedia. En una exponencial, la tasa regula qué tan frecuentes son los valores pequeños. En una Poisson, el parámetro λ controla el nivel esperado de eventos por intervalo.

Por eso, cuando movés sliders no solo cambian números: cambia la historia operativa que el modelo está contando.

Dos distribuciones pueden tener medias parecidas y, sin embargo, comportarse de manera muy distinta. Una puede concentrar casi todo cerca del promedio, mientras otra puede generar valores extremos con más frecuencia.

Eso es clave en operaciones. No alcanza con conocer un promedio. También importa la dispersión, la asimetría y la presencia de colas largas, porque allí suelen aparecer atrasos, faltantes, esperas o picos de carga.

En la página se muestran tanto estadísticas teóricas como estadísticas de la muestra para reforzar esa comparación.

Esta distinción ayuda a elegir modelos más razonables según el fenómeno:

• Poisson: cantidad de eventos en un intervalo, como llegadas por hora.
• Exponencial: tiempo entre eventos o entre llegadas.
• Normal: variables continuas aproximadamente simétricas y concentradas alrededor de un centro.
• Uniforme: situaciones donde cualquier valor de un intervalo es igual de plausible.
• Triangular: útil cuando se conoce mínimo, máximo y valor más probable.

Primero seleccioná la distribución en el desplegable. Después ajustá sus parámetros con los sliders. Cada distribución habilita controles distintos.

• En normal, variá media y desvío.
• En uniforme, mové mínimo y máximo.
• En triangular, ajustá mínimo, moda y máximo.
• En exponencial y Poisson, variá la tasa o media λ.

Al hacerlo, observá cómo cambia la forma amarilla: centro, amplitud, asimetría y cola.

Usá Tamaño muestra para decidir cuántos datos simulados querés generar. Luego presioná Simular muestra o Nueva muestra.

El gráfico principal compara la muestra azul con el modelo teórico amarillo. Cuando la muestra es chica, el histograma suele verse irregular. Cuando la muestra crece, la forma observada tiende a parecerse más a la teórica.

El selector Visualización te deja mirar ambos juntos, solo la muestra o solo la teoría. Eso ayuda a aislar mejor la idea que querés discutir en clase.

Con Rango inferior y Rango superior marcás una zona de interés. La página resalta ese intervalo y calcula:

• la probabilidad teórica de caer en ese rango;
• la proporción observada en la muestra simulada.

En variables continuas, interpretá esa zona como un área bajo la curva. En Poisson, interpretala como la suma de las barras enteras incluidas en el rango.

• Si el centro de la distribución se desplaza cuando cambiás parámetros.
• Si la distribución se vuelve más ancha o más concentrada.
• Si aparecen colas largas o asimetrías marcadas.
• Si la muestra reproduce razonablemente la teoría o todavía fluctúa mucho.
• Si la probabilidad teórica del intervalo se parece o no a la proporción observada.

• Compará Poisson con exponencial y discutí cuál representa conteos y cuál tiempos.
• Probá una normal con desvío chico y luego con desvío grande.
• Contrastá una uniforme con una triangular usando intervalos similares.
• Usá una muestra chica y después una grande para mostrar por qué la teoría no siempre se “ve” enseguida en los datos.